Archives Mensuelles: novembre 2009

Nouvelle Thésarderie

Vendredi 13 novembre 2009

Lieu :

Salle II du laboratoire Dieudonné

Planning :

  • 13h45 : Accueil des nouveaux arrivants.
  • 14h00 : Exposé de Alain OLIVETTI intitulé « Mode de respiration d’un système de particules en interactions ».
  • 15h15 : Exposé de Benjamin PERGOLIZZI intitulé « Introductions aux exposants de Lyapunov ».
  • 16h30 : Pause café (si possible 😉 ).
  • 17h00 : Exposé de Damien BROIZAT intitulé « Solutions globales de l’équation de Boltzmann : l’approche mathématique – Partie II ». REPORTÉ.
  • 18h15 : Libération des otages.

Détails :

Exposé de Alain OLIVETTI

« Mode de respiration d’un système de particules en interactions »

Le mode de respiration est un outil important pour comprendre un système de particules piègées. Partant de l’exemple du piège magnéto-optique (M.O.T.), nous étudierons le mode de respiration à partir de l’équation de Vlasov et plus généralement de l’équation de Vlasov-Fokker-Planck. Nous verrons comment les résultats peuvent être généralisés pour n’importe quel système de particles en interactions (courtes ou longues portées). Enfin nous concluerons sur l’impact du mode de respiration dans l’étude d’un M.O.T..

Exposé de Benjamin PERGOLIZZI

« Introductions aux exposants de Lyapunov »

1. Exemples de systèmes discrets.

2. Un peu de théorie ergodique: théorème de Birkhoff, théorème d’Osceledec.

3. Approche de l’entropie dynamique. Inégalité de Pesin-Ruelle.

4. Ensemble de Pesin.

Remarque : Les parties 3 et 4 seront traitées très superficiellement et sont là plus à titre d’information.

Dans cette première tentative je ne donnerais pas de démonstration. La deuxième partie sera démontre dans un exposé ulterieur. L’objectif de cette introduction étant juste de donner un bref aperçu du chaos sous l’angle des exposants de Lyapunov. Si des personnes connaissent bien la théorie ergodique ou les systèmes dynamiques hyperboliques, elles sont les bienvenues et pourront me corriger. Ne maitrisant pas assez ces outils je ne donnerais pas d’applications sur la structures des difféomorphismes « chaotiques », à l’aide du « fer a cheval généralisé » de Smale par exemple, même si j’ai bien bien conscience que c’est la raison fondamentale de ces notions.

Exposé de Damien BROIZAT

« Solutions globales de l’équation de Boltzmann : l’approche mathématique – Partie II « 

3. Calcul des estimations a priori.

4. Nécessité de la renormalisation.

5. Existence de solutions renormalisées.

On étudie ici la dynamique collisionnelle d’un système de particules, via le modèle cinétique établi par L.Boltzmann en 1872. Il s’agit d’une équation intégro-différentielle portant sur la densité de particules f(t,x,v) et comportant un terme de réaction non-linéaire qui constitue une difficulté mathématique assez importante. En effet, les bornes naturelles sur f que fournit l’équation (notamment la conservation de la masse et la propagation de l’entropie : $\int_v f |ln(f)| dv$ au cours du temps) ne suffisent pas à définir correctement cet opérateur intégral, empêchant ainsi l’obtention de solutions « traditionnelles » (au sens des distributions) en temps grand.

Le problème a été résolu de manière rigoureuse en 1989, avec l’introduction d’un nouveau type de solutions, reposant sur une technique de renormalisation due à R. DiPerna et P.L Lions. L’intérêt de cette méthode est qu’elle s’applique à la résolution d’autres problèmes cinétiques, notamment les équations de coagulation-fragmentation.

Je tenterai donc de présenter brièvement la stratégie de résolution du problème, mettant en avant les principales difficultés mathématiques.

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